Численные методы решения задачи Стефана

Об авторе:

Бородин Станислав Леонидович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Тюменский филиал Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН; eLibrary AuthorID, ORCID, Web of Science ResearcherID, Scopus Author ID, s.l.borodin@yandex.ru; ORCID: 0000-0002-2850-5989

Аннотация:

Рассмотрены все наиболее известные численные методы решения задачи Стефана, а также новый метод, разработанный авторами, с целью выбора наиболее эффективного из них с позиций точности и скорости расчетов. Сравнение проводилось на результатах решения задачи движения границы фазового перехода «лед-вода» вокруг вертикальной скважины, проходящей сквозь толщу многолетних мерзлых пород. Сделаны выводы, которые распространяются и на другие многомерные и многофронтовые постановки задачи Стефана. Приведена математическая модель, представлено краткое описание рассматриваемых численных методов, указаны границы их применимости, достоинства и недостатки. Показано, что использование явной схемы приводит к значительному увеличению времени расчетов, а шеститочечная симметричная схема может давать колеблющееся решение. Таким образом, для одномерных однофронтовых задач Стефана наиболее эффективным является метод ловли фронта в узел сетки с использованием неявной схемы, а для многомерных многофронтовых задач — метод энтальпий с использованием неявной схемы, разработанный авторами.

Список литературы:

1. Данилюк И. И. О задаче Стефана / И. И. Данилюк // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. № 5. С. 133-185. 
2. Крылов Д. А. Подходы к решению трехмерных задач теплопроводности с учетом фазовых переходов в дисперсных средах / Д. А. Крылов // Молодежный научно-технический вестник. 2013. № 3. URL: http://sntbul.bmstu.ru/doc/562218.html 
3. Медведский Р. И. Строительство и эксплуатация скважин на нефть и газ в вечномерзлых породах / Р. И. Медведский. М.: Недра, 1987. 230 с. 
4. Мусакаев Н. Г. Численное исследование закономерностей движения фронта фазового перехода в многолетнемерзлых породах / Н. Г. Мусакаев, С. Н. Романюк, С. Л. Бородин // Известия вузов. Нефть и газ. 2011. № 6. С. 122-128. 
5. Новый справочник химика и технолога. Процессы и аппараты химической технологии. СПб.: НПО «Профессионал». 2004. Ч. I; 2006. Ч. II. 
6. Основы геокриологии / под. ред. Э. Д. Ершова. М.: Из-во МГУ. 2001, Ч. 4. Динамическая геокриология. 
7. Павлов А. Р. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса при фазовых переходах: учебное пособие / А. Р. Павлов. Якутск, 2001. 58 с. 
8. Патанкар С. В. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. В. Патанкар. М.: Энергоатомиздат, 1984. 146 с. 
9. Полежаев Ю. В. Тепловая защита / Ю. В. Полежаев, Ф. Б. Юревич. М.: Энергия, 1976. 392 с. 
10. Самарский А. А. Вычислительная теплопередача / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с. 
11. Самарский А. А. Численные методы: учеб. пособие для ВУЗов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1989. 432 с. 
12. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1977. 735 с. 
13. Самарский А. А. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана / А. А. Самарский, Б. Д. Моисеенко // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 816-827. 
14. Шагапов В. Ш. Теплообмен скважины с окружающими породами / В. Ш. Шагапов, Н. Г. Мусакаев // Инженерно-физический журнал. 1998. Т. 71. № 6. С. 1134-1140. 
15. Jozef Stefan: His Scientific Legacy on the 175th Anniversary of His Birth / J. C. Crepeau (Ed.). M. — Idaho — USA, 2013.