Спектральный анализ устойчивости уравнения теплопроводности с конвективными слагаемыми

Об авторах:

Скобликов Родион Максимович, аспирант, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия skoblikov.rodion@yandex.ru, https://orcid.org/0009-0007-2241-246X
Канонирова Елизавета Петровна, аспирант, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия

stud0000123797@study.utmn.ru, https://orcid.org/0009-0009-7472-2093

Шевелёв Александр Павлович, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры моделирования физических процессов и систем, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия; a.p.shevelev@utmn.ru, https://orcid.org/0000-0003-0017-4871

Гильманов Александр Янович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра моделирования физических процессов и систем, Школа естественных наук, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия; a.y.gilmanov@utmn.ru, https://orcid.org/0000-0002-7115-1629

Панова Александра Викторовна , старший преподаватель, кафедра иностранных языков, Тюменский индустриальный университет, Тюмень, Россия; доцент, кафедра моделирования физических процессов и систем, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия

panovaav@tyuiu.ru, https://orcid.org/0000-0003-3180-6990

Аннотация:

Моделирование физических процессов является важным этапом в конструировании, прогнозировании, планировании. Огромную практическую значимость получили численные методы и, в частности, метод конечных разностей, который, однако, имеет ограничения. Указанные ограничения связаны с требованием устойчивого и сходящегося решения. Анализ устойчивости является классическим методом, однако результаты такого анализа для конкретных случаев мало изучены. Цель работы — выявление условий устойчивости при помощи метода Неймана для явной и неявной конечно-разностных схем двумерного уравнения теплопроводности с разными аппроксимациями конвективных слагаемых. Рассмотрены три различных типа аппроксимаций конвективных слагаемых и их влияние на условия устойчивости: разность назад, разность вперед, центральная разность. Продемонстрирован формализованный подход к проведению спектрального анализа и нахождения как достаточных условий устойчивости, так и необходимых. Для каждого случая аппроксимаций получены достаточные условия устойчивости, накладывающие строгое ограничение как на размерность пространственно-временной сетки, так и на область применения конкретных схем.

Список литературы:

Бештоков М. Х. 2025. Разностные схемы повышенного порядка точности для нагруженных уравнений теплопроводности с граничными требованиями первого рода // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. Том 29. № 2. С. 220–240. https://doi.org/10.14498/vsgtu2142

Икрамов А. М. 2025. Численное моделирование трехмерных нестационарных процессов теплопроводности в неоднородных телах // Проблемы вычислительной и прикладной математики. № 1 (63). С. 99–107.

Каримбаев К. Д., Рапилбекова Н. С. 2009a. Численная оценка точности пространственной дискретизации уравнений теплопроводности // Известия Самарского научного центра РАН. Т. 11. № 5-1. С. 138–143.

Каримбаев К. Д., Рапилбекова Н. С. 2009б. Численная оценка устойчивости разностных схем теплопроводности для многослойных сред // Известия Самарского научного центра РАН. Т. 11. № 3. С. 98–102.

Корчагина О. Р., Кашников В. И. 2022. Аппроксимация переноса эволюционных процессов с распределенными параметрами в нестабильной сети // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2022): сборник трудов международной научной конференции (г. Воронеж, 13–16 дек. 2022 г.) / под ред. В. В. Провоторова. Воронеж: Воронежский гос. пед. ун-т. С. 30–32.

Краснопольский Б. И., Чесноков С. А. 2006. Математическое моделирование теплофизических свойств стеклопакетов // Научная сессия МИФИ-2006: сборник научных трудов. Т. 7. Астрофизика. Космофизика. Математические методы. Ускорительная техника.
М.: Тип. МИФИ. С. 122–123.

Майков Д. Н., Макаров С. С. 2024. Метод ускорения численного решения дифференциального уравнения пьезопроводности модели пласта с двойной пористостью // Математическое моделирование и численные методы. 2024. № 3 (43). С. 15–28. https://doi.org/10.18698/2309-3684-2024-3-317

Малышев С. В. 2023. Программная реализация численного метода Лакса–Фридрихса для моделирования нестационарных задач газовой динамики // Управление большими системами. № 105. С. 30–40. https://doi.org/10.25728/ubs.2023.105.2

Попов С. В., Боронина А. С., Немчинова А. В. 2022. Сравнение конечно-разностных схем для их применения при создании математических моделей гляциологических и гидрологических процессов // Успехи современного естествознания. № 11. С. 73–81. https://doi.org/10.17513/use.37931

Самарский А. А., Гулин А. В. 1973. Устойчивость разностных схем. М.: Наука. 415 с.

Самарский А. А., Гулин А. В. 1989. Численные методы: учебное пособие для вузов.
М.: Наука. 432 с.

Таштемирова Н. 2025. Математическая модель и численный алгоритм для исследования процесса распространения пылевых и мелкодисперсных аэрозолей в атмосфере // Проблемы вычислительной и прикладной математики. № 1 (63). С. 57–76. https://doi.org/10.71310/pcam.1_63.2025.05 

Тихонов А. Н., Самарский А. А. 1985. Уравнения математической физики. М.: Наука.
392 с.

Флетчер К. 1991. Вычислительные методы в динамике жидкости: в 2 т. / Пер. с англ. М.: Мир. Т. 1. 320 с.

Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л. 2004. Численные методы. М.: Физматлит. 400 с.

Хайткулов Б. Х. 2022. Численное моделирование нестационарной задачи конвекции-диффузии в трехмерном случае // Вестник Дагестанского государственного университета. Серия 1: Естественные науки. Том 37. № 2. С. 33–41. https://doi.org/10.21779/2542-0321-2022-37-2-33–41

Anderson D., Tannehill J. C., Pletcher R. H. 2016. Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer. 3rd ed. Boca Raton: CRC Press. 774 p. https://doi.org/10.1201/b12884

Diersch H.-J. G. 2014. FEFLOW: Finite Element Modeling of Flow, Mass and Heat Transport in Porous and Fractured Media. Berlin–Heidelberg: Springer. 996 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-38739-5

Ferziger J. H., Perić M. 2002. Computational Methods for Fluid Dynamics. 3rd ed. Berlin–Heidelberg: Springer. 426 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56026-2

Haque M. N., Akter R., Mojumder M. S. H. 2025. An efficient explicit scheme for solving the 2D heat equation with stability and convergence analysis // Journal of Applied Mathematics and Physics. No. 13. Pp. 2234–2244. https://doi.org/10.4236/jamp.2025.137127

Hirpho M. 2022. Numerical solution of the heat transfer equation coupled with the Darcy flow using the finite element method // Abstract and Applied Analysis. No. 4. Pp. 1–9. https://doi.org/10.1155/2022/5108445

Issakhov A., Abylkassymova A., Zhailybaev R., Yun S. 2025. Stability condition of finite difference schemes for parabolic and hyperbolic equations: A comparison with finite volume methods for fractional-order diffusion // Herald of the Kazakh-British Technical University. № 1. С. 45–60. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2025-22-1-184-196

Khankhasaev V. N., Munyaev S. M. 2025. Initial-boundary-value problems for some nonlinear mixed heat conductivity operators // Journal of Mathematical Sciences. Vol. 292. Pp. 383–391. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07923-w

Li L., Gao H. 2021. The stability and stabilization of heat equation in non-cylindrical domain // Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol. 493. No. 2. Article 124538. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2020.124538

Ramosa A., Campelo A., Freitas M., Kovács R. 2023. Numerical analysis of the Maxwell–Cattaneo–Vernotte nonlinear model // Journal of Thermal Stresses. Vol. 47 (9). Pp. 1262–1276. https://doi.org/10.1080/01495739.2024.2391749

Xie Y., Lei P. 2019. On global boundedness, stability and almost periodicity of solutions for heat equations // Funkcialaj Ekvacioj. Vol. 62. No. 2. Pp. 191–208. https://doi.org/10.1619/fesi.62.191