Построение универсальных нейросетевых решений для семейств краевых задач уравнения пьезопроводности

Об авторах:

Пономарев Роман Юрьевич, менеджер, Тюменский нефтяной научный центр, Тюмень, Россия; аспирант, кафедра моделирования физических процессов и систем, Школа естественных наук, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия; ryponomarev@tnnc.rosneft.ru

Ивлев Михаил Игоревич, главный специалист, ООО «РН-Геология Исследования Разработка», Тюмень, Россия; miivlev@ rn-gir.rosneft.ru

Мигманов Руслан Рамилевич, главный специалист, ООО «РН-Геология Исследования Разработка», Тюмень, Россия; rrmigmanov @rn-gir.rosneft.ru

Вершинин Владимир Евгеньевич, главный специалист, Тюменский нефтяной научный центр, Тюмень, Россия; доцент, кафедра моделирования физических процессов и систем, Школа естественных наук, Тюменский государственный университет, Тюмень, Россия; ve_vershinin2@tnnc.rosneft.ru

Аннотация:

Статья посвящена разработке методов получения нейросетевых аналогов аналитических решений семейств краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Аппроксимация решений краевых задач дифференциальных уравнений является актуальной задачей математического моделирования и неотъемлемым элементом алгоритмов оптимизации. Известны способы получения аналитической аппроксимации решений краевых задач за счет обучения физически информированных нейронных сетей. Выполнение уравнения и начально-краевых условий в ходе обучения такой нейронной сети обеспечивается путем добавления соответствующих слагаемых невязки в целевой функционал обучения. Данный подход приводит к тому, что при обучении нейронной сети учитываются только наперед заданные начально-краевые условия, и при их изменении требуется новое обучение. Это значительно увеличивает время расчета и ограничивает применимость физически информированных нейронных сетей при решении оптимизационных задач.

В работе предложен способ учета параметризованного множества начально-краевых условий при обучении физически информированной нейронной сети. На примере краевых задач с произвольными начальными и граничными условиями для уравнения пьезопроводности с переменными коэффициентами построен физико-информированный нейросетевой оператор, позволяющий получать семейства аппроксимационных решений, и дана оценка их точности. В основе предложенного метода лежит изменение структуры нейронной сети и использование переменных весовых коэффициентов вместо постоянных, что делает такую нейросеть разновидностью сетей Колмогорова–Арнольда. Для нахождения весовых функций предложено использовать вложенные нейронные сети персептронного вида. Предложенный подход позволяет решать оптимизационные задачи с помощью обученных физически информированных нейронных сетей без обращения к численным сеточным решениям.

Список литературы:

Азиз Х., Сеттари Э. 2004. Математическое моделирование пластовых систем. Ижевск; М.: Институт компьютерных исследований. 406 с.

Басниев К. С, Кочина И. Н., Максимов В. М. 1993. Подземная гидромеханика. Учебник для вузов. М.: Недра. С. 227–252.

Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. 1984. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра. 211 с.

Бутырский Е. Ю., Кувалдин И. А., Чалкин В. П. 2010. Аппроксимация многомерных функций // Научное приборостроение. Т. 20. № 2. С. 82–92.

Вершинин В. Е., Пономарев Р. Ю. 2023. Применение методов нейросетевого моделирования при решении начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. Т. 9. № 3(35). С. 132–147. https://doi.org/10.21684/2411-7978-2023-9-3-132-147

Васильев А. Н., Тархов Д. А., Шемякина Т. А. 2016. Приближенные аналитические решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Современные информационные технологии и ИТ-образование. Т. 12. № 2-3. С. 188–195.

Васильев А. Н., Тархов Д. А., Шемякина Т. А. 2015. Нейросетевой подход к задачам математической физики. СПб.: Нестор-История. 260 с.

Галкин В. А., Гавриленко Т. В., Смородинов А. Д. 2022. Некоторые аспекты аппроксимации и интерполяции функций искусственными нейронными сетями // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. Т. 38. № 1. C. 54–73.

Горбань А. Н. 1998. Обобщенная аппроксимационная теорема и вычислительные возможности нейронных сетей // Сибирский журнал вычислительной техники. Т. 1. № 1. С. 12–24.

Зрелова Д. П., Ульянов С. В. 2022. Модели физически информированных / осведомленных классических Лагранжевых / Гамильтоновых нейронных сетей в глубоком обучении // Современные информационные технологии и ИТ-образование. Т. 18. № 2. С. 310–325.

Колмогоров А. Н.1957. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного // Доклады АН СССР. Т. 114. № 5. С. 953–956.

Хайкин С. 2019. Нейронные сети. Полный курс. М.: Диалектика. 1103 с.

Фанасков В. С., Оселедец И. В. 2023. Спектральные нейронные операторы // ДРАН. Математика, информатика, процессы управления. Т. 514. № 2. С. 72–79.

Cybenko G. V. 1989. Approximation by superpositions of a sigmoidal function // Mathematics of Control Signals and Systems. Vol. 2. No. 4. Pp. 303–314.

Fraces Gasmi C., Tchelepi H. 2022. Uncertainty quantification for transport in porous media using parameterized physics informed neural networks // arXiv:2205.12730. https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.12730

Fuks O., Tchelepi H. A. 2020. Limitations of physics informed machine learning for nonlinear two-phase transport in porous media // Journal of Machine Learning for Modeling and Computing. Vol. 1(1). Pp. 19–37.

Gupta G., Xiongye Xiao, Bogdan P. 2021. Multiwavelet-based operator learning for differential equations // B: Advances in Neural Information Processing Systems. Vol. 34. Pp. 24048–24062. https://doi.org/10.48550/arXiv.2109.13459

Liu C., Murari D., Liu L., Liu Y., Budd C., Schönlieb C.-B. 2025. Enhancing Fourier neural operators with local spatial features // arXiv:2503.17797v2.

Liu Z., Wang Y., Vaidya S., Ruehle F. 2024. KAN: Kolmogorov–Arnold networks // arXiv:2404.19756v1.

Lu Lu, Jin P., Karniadakis G. E. 2019. DeepONet: Learning nonlinear operators for identifying differential equations based on the universal approximation theorem of operators // arXiv:1910.03193.2019. https://doi.org/10.48550/arXiv.1910.03193

Ma X. et al. 2024. Enhancing subsurface multiphase flow simulation with Fourier neural operator // Heliyon. Vol. 10. No. 18. Art. no. e38103. https://doi.org/10.1016/j.heliyon.2024.e38103

Maarouf A., Tahir S., Su S., Ramatullayev S., Rat C., Kloucha Ch. K., Mustapha H. 2022. Deep-learning-based surrogate reservoir model for history-matching optimization // ADIPEC, Abu Dhabi, UAE. SPE-211061-MS. https://doi.org/10.2118/211061-MS

Mohaghegh S. D., Liu J., Gaskari R., Maysami M., Olukoko O. A. 2012. Application of surrogate reservoir model (SRM) to an Onshore Green Field in Saudi Arabia; Case Study // North Africa Technical Conference and Exhibition, Cairo, Egypt. SPE-151994-MS. https://doi.org/10.2118/151994-MS

Mohaghegh S. D. 2018. Contribution of artificial intelligence and machine learning in U.S. DOE’s efforts during the aftermath of Deepwater Horizon // SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Dallas. SPE-191613-MS. https://doi.org/10.2118/191613-MS

Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G. E. 2019. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations // Journal of Computational Physics. Vol. 378. Pp. 686–707. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045

Thuerey N., et al. 2022. Physics-based deep learning // arXiv:2109.05237. https://doi.org/10.48550/arXiv.2109.05237

Tripura T., Chakraborty S. 2022. Wavelet neural operator: A neural operator for parametric partial differential equation // arXiv:2205.02191. https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.02191

Li Z. Kolmogorov–Arnold networks are radial basis function networks // arXiv:2405.06721v1. https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.06721

Li Z., et al. 2020. Fourier neural operator for parametric partial differential equations // arXiv:2010.08895. https://doi.org/10.48550/arXiv.2010.08895