Дифференциально-разностные системы в анализе слабой разрешимости начально-краевых задач с изменяющейся в сетеподобной области пространственной переменной

Об авторах:

Хоанг Ван Нгуен, аспирант кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия, fadded9x@gmail.com, https://orcid.org/0000-0001-6970-2770
Провоторов Вячеслав Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет, Воронеж, Россия, wwprov@mail.ru, https://orcid.org/0000-0001-8761-7174

Аннотация:

В работе указан подход и соответствующие ему методы, которые поз­воляют построить априорные оценки слабых решений дифференциально-разностной системы с пространственной переменной, изменяющейся в много­мерной сетеподобной области. Такие оценки в пространствах суммируемых функций используются при поиске условий разрешимости краевых задач различного типа для дифференциально-разностных систем. Кроме того, априорные оценки используются для обоснования применения метода дискретизации по временной переменной (полудискретизации) к анализу слабой разрешимости начально-краевых задач и последующего построения приближений слабых решений. Аргументом для использования подхода является тот факт, что представление математических моделей процесса с помощью формализмов дифференциально-разностных систем является единственным инструментом эффективного решения задач переноса сплошных сред по сетеподобным носителям. К примеру, редукция дифференциальной системы (начально-краевой задачи) к соответствующей ей дифференциально-разностной дает возможность не только сущест­венно упростить анализ задач оптимального управления дифференциальной системой (т. к. этот анализ сводится к изучению задачи оптимального управления системой эллиптических уравнений), но и с помощью классических методов теории управления эллиптическими системами алгоритмизировать исходную задачу. Используемая редукция зачастую существенно упрощает условия существования и единственности оптимального управления дифференциальной системой. Данным задачам посвящен достаточно большой спектр исследований нестацио­нарных сетеподобных гидродинамических процессов и потоковых явле­ний. В качестве иллюстрации используемого подхода приведен анализ разрешимости линеаризованной системы Навье — Стокса.

Список литературы:

Веремей Е. И., Сотникова М. В. 2011. Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. № 1. С. 116–133.

Ладыженская О. А. 1973. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 407 с.

Лионс Ж.-Л. 1972а. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 414 с.

Лионс Ж.-Л. 1972б. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 587 с.

Aleksandrov A. Yu., Zhabko A. P. 2003. On stability of solutions to one class of nonlinear difference systems // Siberian Mathematical Journal. Vol. 44. No. 6. Pp. 951–958. https://doi.org/10.1023/B:SIMJ.0000007470.46246.bd

Artemov M. A., Baranovskii E. S. 2019. Solvability of the Boussinesq approximation for water polymer solutions // Mathematics. Vol. 7. No. 7. Article 611. https://doi.org/10.3390/math7070611

Artemov M. A., Baranovskii E. S., Zhabko A. P., Provotorov V. V. 2019. On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network // Journal of Physics: Conference Series. Vol. 1203. Article 012094. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1203/1/012094

Baranovskii E. S. 2016. Mixed initial-boundary value problem for equations of motion of Kelvin–Voigt fluids // Computational Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 56. No. 7. Pp. 1363–1371. https://doi.org/10.1134/S0965542516070058

Baranovskii E. S. 2019. Steady flows of an Oldroyd fluid with threshold slip // Communications on Pure and Applied Analysis. Vol. 18. No. 2. Pp. 735–750. https://doi.org/10.3934/cpaa.2019036

Baranovskii E. S., Provotorov V. V., Artemov M. A., Zhabko A. P. 2021. Non-isothermal creeping flows in a pipeline network: Existence results // Symmetry. Vol. 13. Article 1300. https://doi.org/10.3390/sym13071300

Kamachkin A. M., Potapov D. K., Yevstafyeva V. V. 2020. Existence of periodic modes in automatic control system with a three-position relay // International Journal of Control. Vol. 93. No. 4. Pp. 763–770. https://doi.org/10.1080/00207179.2018.1562221

Provotorov V. V., Provotorova E. N. 2017. Optimal control of the linearized Navier–Stokes system in a netlike domain // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. Vol. 13. No. 4. Pp. 431–443. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2017.409

Provotorov V. V., Sergeev S. M., Hoang V. N. 2021. Point control of a differential-difference system with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. Vol. 17. No. 3. Pp. 277–286. https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2021.305