Условия существования положения равновесия типа «трехмерный центр» в системе трех дифференциальных уравнений

Об авторах:

Баянов Федор Сергеевич, магистрант, Тюменский государственный университет; fedyabay@yandex.ru

Казанцева Татьяна Евгеньевна, старший преподаватель кафедры фундаментальной математики и механики, Тюменский государственный университет; eLibrary AuthorID, t.e.kazanceva@utmn.ru

Мачулис Владислав Владимирович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной математики и механики, Тюменский государственный университет; eLibrary AuthorID, ORCID, ResearcherID, mareliks@gmail.com

Аннотация:

В данной статье рассматривается система трех дифференциальных уравнений с кубическими многочленами в правых частях, содержащая семь произвольных параметров. Цель исследования заключается в получении условий для параметров, при которых заданная система будет иметь в начале координат положение равновесия типа «центр». Малая окрестность такого положения равновесия нелинейной системы содержит замкнутые траектории, вложенные друг в друга, что соответствует наличию малоамплитудных периодических движений системы. Введением малого параметра и последующим переходом к новой системе координат исходная система сведена к системе двух дифференциальных уравнений. Решение преобразованной системы представлено в виде ряда по степеням малого параметра, что делает возможным получение отображения Пуанкаре в виде ряда по степеням этого же параметра. Исследованием отображения Пуанкаре получены условия существования положения равновесия типа «центр».

Список литературы:

1. Андронов А. А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. М.: Наука, 1966. 568 с.
2. Андронов А. А. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. М.: Наука, 1967. 487 с.
3. Андронов А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. 2-е изд., перераб. и испр. М.: Наука, 1981. 918 с.
4. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах / В. С. Анищенко. М.: Наука, 1990. 312 с.
5. Баутин Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. 2-е изд., доп. М.: Наука, 1990. 486 с.
6. Бутенин Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. Л. Фуфаев. 2-е изд., перераб. М.: Наука, 1987. 382 с.
7. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 560 с.
8. Каток А. Б. Введение в современную теорию динамических систем / А. Б. Каток, Б. М. Хасселблат. М.: Факториал, 1999. 768 с.
9. Кузнецов С. П. Динамический хаос. Курс лекций: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по физ. спец. / С. П. Кузнецов. М.: Физматлит, 2001. 296 с.
10. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ; пер. с англ. М.: Мир, 1984. 535 с.
11. Семенова Н. И. Возвраты Пуанкаре в стробоскопическом сечении неавтономного генератора ван дер Поля / Н. И. Семенова, В. С. Анищенко // Нелинейная динамика. 2014. Том 10. № 2. С. 149-156. DOI: 10.20537/nd1402002
12. Шильников А. Л.  Методы качественной теории в нелинейной динамике / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 428 с. 
13. Шильников Л. П. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2 / Л. П. Шильников, А. Л. Шильников, Д. В. Тураев, Л. Чуа. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, Институт компьютерных исследований, 2009. 548 с.
14. García I. A. The three-dimensional center problem for the zero-Hopf singularity / I. A. García, C. Valls // Discrete and Continuous Dynamical Systems — Series A. 2016. Vol. 36. № 4. Pp. 2027-2046. DOI: 10.3934/dcds.2016.36.2027