Вестник ТюмГУ. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика.


Выпуск:

2017. Том 3. №3

Название: 
Численное моделирование одномерных многофронтовых задач Стефана


Для цитирования: Аксенов Б. Г. Численное моделирование одномерных многофронтовых задач Стефана / Б. Г. Аксенов, Ю. Е. Карякин // Вестник Тюменского государственного университета. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика. 2017. Том 3. № 3. С. 8-16. DOI: 10.21684/2411-7978-2017-3-3-8-16

Об авторах:

Аксенов Борис Гаврилович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры промышленной теплоэнергетики, Тюменский индустриальный университет; aksenov_bg@me.com

Карякин Юрий Евгеньевич, кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем, Тюменский государственный университет; y.e.karyakin@utmn.ru

Аннотация:

Теплообмен с фазовым переходом традиционно описывается задачей Стефана, которая представляет из себя систему дифференциальных уравнений параболического типа с обычными краевыми условиями и дополнительным условием на границе фазового перехода. Можно формально перейти к одному уравнению типа теплопроводности, но тогда в одном из коэффициентов появляется дельта-функция, отражающая выделение Джоулева тепла при температуре фазового перехода. Широко распространенный метод «сквозного счета», заключающийся в замене дельта-функции на дельтообразную функцию, сводит задачу Стефана к краевой задаче для нелинейного уравнения теплопроводности. Но при таком подходе результатом расчетов является поле температур, по которому трудно идентифицировать положение границы фазового перехода. Между тем расчет часто производится главным образом для установления динамики фазовых превращений. Поэтому разработано большое количество методов решения задачи Стефана, в которых искомой величиной является именно координата фронта. Общим недостатком этих методов является то, что они мало пригодны для ситуаций, когда фронтов несколько, когда эти фронты появляются и исчезают, меняют направление движения, сливаются друг с другом. В этом случае следить за движением каждого фронта становится нелегким делом. В данной статье на примере задачи о промерзании — оттаивании влажного грунта под воздействием сезонных колебаний температуры поверхности изложен метод решения задачи Стефана, позволяющий получать координату фронта как нулевую изотерму. В этом методе исключена необходимость специального контроля за эволюцией каждого фронта. Задача Стефана рассматривается как предельный случай более общей задачи о фазовом переходе в некотором диапазоне температур. Стандартные преобразования и применение функции Грина позволяют записать эту задачу в виде интегрального уравнения. Приближенное решение получается в виде рекуррентной формулы. В статье приводится пример расчета. Полученные результаты достаточно хорошо согласуются с расчетами по методу «сквозного счета». Но здесь мы получаем не поле температур, а зависимость положения границы фронта от времени. Численные эксперименты показывают, что изложенный в настоящей работе метод является удобным способом моделирования многофронтовых задач Стефана. Отметим, что оценки в виде системы функций, поочередно мажорирующих искомое решение сверху и снизу (если таковые нужны), можно получить только для монотонных задач Стефана. Для немонотонных задач это сделать не удается. Здесь требуется дополнительное исследование.

Список литературы:

  1. Аксенов Б. Г. Приближенное решение нелинейных немонотонных задач теории фильтрации / Б. Г. Аксенов, Ю. С. Даниэлян // Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. № 4.
  2. Аксенов Б. Г. Приближение решения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена / Б. Г. Аксенов, Ю. С. Даниэлян, Н. А. Рубцов // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1984. № 4. Вып. 1.
  3. Беляев Н. М. Методы теории теплопроводности / Н. М. Беляев, А. А. Рядно. М.: Высшая школа, 1982. Ч. 2.
  4. Даниэлян Ю. С. Построение оценок решений некоторых немонотонных задач нелинейного теплообмена / Ю. С. Даниэлян, Б. Г. Аксенов // Изв. АН СССР. ТВТ. 1985. Т. 23. № 5.
  5. Достовалов Б. Н. Общее мерзлотоведение / Б. Н. Достовалов, В. А. Кудрявцев. М.: Изд-во МГУ, 1967.
  6. Любов Б. А. Теория кристаллизации в больших объемах / Б. А. Любов. М.: Наука, 1975.
  7. Никитенко Н. Н. Исследование нестационарных процессов тепло- и массообмена методом сеток / Н. Н. Никитенко. Киев: Наукова думка, 1971.
  8. Тихонов А. Н. Об остывании тел при лучеиспускании, следующем закону Стефана — Больцмана / А. Н. Тихонов // Изв. АН СССР. Сер. географии и геофизики. 1937. № 3.
  9. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1966.
  10. Фельдман Г. М. Прогноз температурного режима грунтов и развития криогенных процессов / Г. М. Фельдман. Новосибирск: Наука, 1977.