Вестник ТюмГУ. Физико-математическое моделирование. Нефть, газ, энергетика.


Выпуск:

Выпуски архив. Вестник ТюмГУ. Физико-математические науки. Информатика (№7, 2013)

Название: 
Задача Стефана как предельный случай задачи о фазовом переходе в спектре температур


Об авторах:

Аксенов Борис Гаврилович , доктор физико-математических наук, профессор кафедры промышленной теплоэнергетики, Тюменский индустриальный университет; aksenov_bg@me.com

Карякина Светлана Валентиновна , доцент кафедры математики Тюменского государственного архитектурно-строительного университета, кандидат технических наук

Аннотация:

В статье приводится теоретическое обоснование приложения метода оценок к решению задачи Стефана. Метод оценок предполагает построение дифференциальных и интегральных неравенств для уравнений параболического или эллиптического типа, описывающих процессы нестационарной или стационарной теплопроводности. Непосредственное построение таких неравенств для задачи Стефана невозможно в связи с тем, что на границе фазового перехода основное уравнение не определено. Здесь рассматривается задача Стефана не в классической постановке, а как предельный случай более общей квазилинейной задачи о фазовом переходе в спектре температур. Показано, что при определенных условиях существует точное равенство между решением квазилинейной задачи и некоторой фронтовой задачи. Это позволяет использовать неравенства, построенные для непрерывной квазилинейной задачи, для оценки решения задачи Стефана. Сформулированы принципы, соблюдение которых обеспечивает возможность построения приближенных решений задачи Стефана с различными граничными условиями. Изложение ведется на примере задачи о промерзании-оттаивании влажного грунта. В грубодисперсных грунтах поровая влага замерзает (оттаивает) при фиксированной температуре. Такой процесс естественно описывать фронтовой задачей Стефана. В тонкодисперсных грунтах поровая влага находится в связанном состоянии, поэтому фронт фазового перехода не образуется, а Джоулево тепло выделяется (поглощается) в некотором спектре температур. Для каждого типа тонкодисперсного грунта фазовый состав влаги при отрицательных емпературах описывается так называемой кривой незамерзшей влаги. Таким образом, для процесса промерзания–оттаивания грунта обе сопоставляемые задачи (квазилинейная и фронтовая) имеют конкретный физический смысл.

Список литературы:

1. Аксенов Б.Г. Границы решений некоторых нелинейных немонотонных задач для уравнений типа теплопроводности // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1993. Т. 33. № 6. С. 884-895.

2. Даниэлян Ю.С., Аксенов Б.Г. Оценки решений нелинейных задач промерзания-оттаивания влажных грунтов // Доклады АН СССР. 1986. Т. 290. № 2. С. 67-71.

3. Аксенов Б.Г. Оценки решения одномерной задачи Стефана // Теплофиз. выс. температур, 1989. Т. 27. № 5. С. 900-906.

4. Сигунов Ю.А. Методы решений классической задачи Стефана. Сургут: РИО Сургутского государственного университета, 2009. 140 с.

5. Колесников А.Г., Мартынов Г.А. О расчете глубины промерзания и оттаивания грунтов / В кн.: М-лы по лабораторным исследованиям мерзлых грунтов. Сб. 1. М.: Изд-во АН СССР, 1953. С. 13-36.

6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. 4-е изд., испр. М.: Наука, 1966. 735 с.

7. Фридман А. Уравнения в частных производных параболического типа. М.: Мир,

1968. 427 с.

8. Аксенов Б.Г., Фомина В.В. Решение нелинейных задач для уравнения теплопроводности в областях с осевой и центральной симметрией // Вестник Тюменского государственного университета. 1999. № 3. С. 194-199.

9. Аксенов Б.Г., Карякина С.В., Фомина В.В. Математическое моделирование теплообмена в плоских и осесимметричных областях / Доклады СО АНВШ. Новосибирск, 2002. № 2. С. 69-78.

10. Аксенов Б.Г., Карякина С.В. Моделирование колебаний границы промерзания-оттаивания в слое теплоизоляции надземных тепловых сетей // Вестник Тюменского государственного университета. 2012. № 4. Серия «Физико-математические науки. Информатика». С. 110-114.