Алгоритм переменного порядка на основе стадий метода Ческино

Об авторах:

Новиков Евгений Александрович, главный научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск), доктор физико-математических наук, профессор
Захаров Александр Анатольевич, доктор технических наук, заведующий базовой кафедрой «Безопасные ИТ умного города», Тюменский государственный университет; a.a.zakharov@utmn.ru

Аннотация:

В работе исследуются методы численного решения жестких задач большой размерности. С помощью оценки максимального собственного числа матрицы Якоби построено неравенство для контроля устойчивости численной схемы Ческино второго порядка точности. Для интегрирования с переменным шагом предложена формула, позволяющая прогнозировать следующий шаг по времени. На основе этой формулы разработан метод первого порядка точности с расширенной областью устойчивости. Этот метод позволяет стабилизировать поведение шага интегрирования на участке установления решения, где именно устойчивость играет определяющую роль. Тем самым удается снять ограничения на возможность применения явных методов для решения жестких задач. Сформулирован алгоритм численного решения жестких задач переменного порядка, использующий неравномерный шаг по времени с дополнительным контролем устойчивости численной схемы интегрирования. Приведены результаты расчетов жестких задач, связанных с численным моделированием пиролиза этана. Получено подтверждение повышения эффективности расчетов за счет переменного порядка.

Список литературы:

1. Hairer, E., Norsett, S.P., Wanner, G. Solving ordinary differential equations. Stiff and differential-algebraic problems. Berlin: Springer-Verlag, 1987. 528 p.

2. Hairer, E., Wanner, G. Solving ordinary differential equations. Non stiff problems. Berlin: Springer-Verlag, 1991. 601 p.

3. Novikov, E.A. Explicit methods for stiff systems. Novosibirsk: Nauka, 1997. 197 p.

4. Novikov, E.A., Shornikov, Yu.V. Computer simulation of stiff hybrid systems. Novosibirsk: Novosibirsk State Technikal University Publ. 2013. 451 p.

5. Новиков Е.А., Захаров А.А. Согласование областей устойчивости в явном трехстадийном методе типа Рунге-Кутта // Вестник Тюменского государственного университета. 2011. №7. Серия «Физико-математические науки. Информатика».

С. 187-192.

6. Shampine, L.M. Implementation of Rosenbrock methods. ACM Transaction on Mathematical Software. 1982. №5. Pp. 93-113.

7. Novikov, V.A., Novikov, E.A. Control of the stability of explicit one — step methods of integrating ordinary differential equations. Soviet Math. Dokl. 1984. Vol. 30, №1. Pp. 211-215.

8. Ceschino, F., Kuntzman, J. Numerical solution of initial value problems. New Jersey: Prentice-Hall, Englewood Clis, 1966. 318 p.

9. Novikov, E.A. Numerical modeling of a modified oregonator by the (2,1)-method for solving stiff problems. Numerical methods and programming. 2010. Vol.11, №2. Pp. 123- 130.

10. Kulich, D.M., Taylor, J.E. Mathematical simulation of the oxygen ethane reaction. J. Chem. Kinetic. 1975. Vol. 8. Pp. 89-97.

11. Merson, R.H. An operational methods for integration processes. Australia: Proc. of Symp. on Data Processing. 1957. Pp. 329-331.

12. Enright, W.H., Hull, T.E. Comparing numerical methods for the solutions of systems of ODE’s. BIT. 1975. №15. Pp. 10-48.